В начало

Гистограмма

 

Большинство факторов, оказывающих влияние на производственный процесс, не остаются неизменными. Поэтому числовые данные, собранные в результате наблюдения, не могут быть одинаковыми, но обязательно подчиняются определенным закономерностям, называемым распределением.

Если измерять контролируемый параметр непрерывно, можно построить его график плотности распределения. Однако на практике проводят измерения только в определенные промежутки времени и не всех изделий, а только некоторых. Поэтому по результатам измерений строят обычно гистограмму - ступенчатую фигуру, контуры которой дают приблизительное представление о графике плотности, то есть о характере распределения изучаемого параметра.

Гистограмма – это столбиковая диаграмма, служащая для графического представления имеющейся количественной информации.

Обычно основой для построения гистограммы служит интервальная таблица частот, в которой весь диапазон измеренных значений случайной величины разбит на некоторое число интервалов, и для каждого интервала указано количество значений, попавших на данный интервал.

Последовательность построения гистограммы следующая.

1. Находят наибольшее (Xmax) и наименьшее (Xmin) значения случайной величины и вычисляют размах изменения R

R = Xmax Xmin.

2. Задают некоторое число разрядов k. При n < 100 можно принять k = 6.

3. Определяют ширину разряда h = . Для упрощения расчётов полученное значение h округляют в любую сторону.

4. Устанавливают границы разрядов и подсчитывают число измерений в каждом из них. При подсчёте значения Х, находящегося на границе разряда, его следует всегда относить к разряду, расположенному слева или справа.

5. Устанавливают mi – число значений Х, попавших в данный разряд.

6. Определяют частоту появления величины pi в данном разряде

pi = ,

где n – общее число всех опытных данных.

7. В системе координат pi = f(X) на ширине разряда h откладывают величину pi как высоту и строят прямоугольник.

Результат заносят в таблицу

 

Таблица. Гистограмма распределения

Интервалы

 

 

 

 

 

 

 

mi

 

 

 

 

 

 

 

pi =

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что площадь элементарного прямоугольника

 

si = hyi = pi,

 

а площадь всей гистограммы

S = = = 1.

Таким образом, гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников.

 

Рис. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения величины Х

Рис. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения величины Х

 

Анализ гистограммы сводится к её сравнению с типовыми случаями.

Обычный тип (симметричный или колоколообразный). Наивысшая частота оказывается в середине основания гистограммы (и постепенно снижается к обоим концам). Форма симметрична. Такая гистограмма по внешнему виду приближается к нормальной (гауссовской) кривой, и можно предполагать, что ни один из факторов, влияющих на исследуемый процесс, не преобладает над другими.

Эта форма гистограммы встречается чаще всего. В этом случае среднее значение случайной величины (применительно к технологической операции – это показатель уровня настроенности) близко к середине основания гистограммы, а степень ее рассеяния относительно среднего значения (для технологических операций – это показатель точности) характеризуется крутизной снижения столбцов.

Рис. Обычный тип гистограммы

Рис. Обычный тип гистограммы

 

Гребенка (мультимодальный тип). Классы через один имеют более низкие частоты.

Такая форма гистограммы встречается, кода число единичных наблюдении, попадающих в класс, колеблется от класса к классу или когда действует определенное правило округления данных Возможно требуется осуществить расслоение данных, то есть определить дополнительные признаки для группировки наблюдаемых значений.

 

Рис. Гребёнка

Рис. Гребёнка

 

Положительно (отрицательно) скошенное распределение. Среднее значение гистограммы локализуется справа (слева) от середины основания гистограммы. Частоты довольно резко спадают

При движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Такая форма гистограммы встречается, когда нижняя (верхняя) граница регулируется либо теоретически, либо по значению допуска или когда левое (правое) значение недостижимо. В этом случае также можно предполагать, что на процесс оказывает преобладающее влияние какой-либо фактор, в частности, подобная форма встречается, когда имеет место замедленный (ускоренный) износ режущего инструмента.

Подобная гистограмма характерна также для распределения Рэлея, которое характеризует форму либо несимметричность изделия.

Рис. Положительно скошенное распределение

Рис. Положительно скошенное распределение

 

Распределение с обрывом слева (справа). Среднее арифметическое гистограммы локализуется далеко слева (справа) от середины основания. Частоты резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Рис. Распределение с обрывом слева

Рис. Распределение с обрывом слева

 

Это одна из тех форм, которые часто встречаются при 100 %-ном просеивании изделий из-за плохой воспроизводимости процесса, а также когда проявляется резко выраженная положительная (отрицательная) асимметрия.

Плато (равномерное и прямоугольное распределения). Частоты в разных классах образуют плато, поскольку все классы имеют более или менее одинаковые ожидаемые частоты.

Рис. Плато

Рис. Плато

 

Такая форма встречается в смеси нескольких распределений, имеющих различные средние, но может также указывать на какой-либо преобладающий фактор, например, равномерный износ режущего инструмента.

Двухпиковый тип (бимодальный тип). В окрестностях середины основания частота низкая, зато есть по пику с каждой стороны.

Такая форма встречается, когда смешиваются два распределения с далеко отстоящими средними значениями, то есть имеет смысл провести расслоение данных. Такую же форму гистограммы можно наблюдать и в случае, когда какой-либо преобладающий фактор меняет свои характеристики, например, если режущий инструмент имеет сначала ускоренный, а затем замедленный износ.

Рис. Двухпиковый тип

Рис. Двухпиковый тип

 

Распределение с изолированный пиком. Наряду с распределением обычного типа появляется маленький изолированный пик.

 

Рис. Распределение с изолированным пиком

Рис. Распределение с изолированным пиком

 

Такая форма появляется при наличии малых включений данных из другого распределения или ошибки измерения. При получении подобной гистограммы следует прежде всего проверить достоверность данных, а в том случае, когда результаты измерений не вызывают сомнения, продумать обоснованность выбранного способа разбиения наблюдаемых значений на интервалы.

Кроме того, по гистограмме можно провести оценку процесса.

При использовании гистограмм для оценки качества процесса на шкале значений наблюдаемого параметра отмечают нижнюю и верхнюю границы поля допуска (поля спецификации) и через эти точки проводят две прямые параллельные столбцам гистограммы.

Если вся гистограмма оказывается внутри границ поля допуска, процесс статистически устойчив и не требует никакого вмешательства.

Если левая и правая границы гистограммы совпадают с границами поля допуска, то желательно уменьшить разброс процесса, так как любое воздействие может привести к появлению изделий, не удовлетворяющих допуску.

Если часть столбцов гистограммы оказывается за границами поля допуска, то необходимо провести регулировку процесса так, чтобы сместить среднее ближе к центру поля допуска  или уменьшить вариации, чтобы добиться меньшего разброса.