В начало

Контроль с разбраковыванием (Тема)

 

Так называется статистический приемочный контроль, по результатам которого бракованную партию продукции возвращают для разбраковывания, т.е. разделения дефектных и годных единиц продукции в забракованной партии при помощи контроля каждой единицы. При этом обычно дефектные единицы заменяются годными.

Предположим, что на контроль поступила партия, содержащая ND дефектных изделий. Партия принимается, если число дефектных единиц в выборке Х≤с. При Х>c в результате разбраковывания партии все единицы продукции в ней становятся годными. Поэтому случайная величина – число дефектных единиц продукции в принятой партии

Математическое ожидание случайной величины NDвых

где вероятности Р{X=z} вычисляют в зависимости от вида закона распределения числа дефектных единиц продукции в выборке.

В частности, при биномиальном распределении

.

Разделив  на объем партии N, получим средний выходной уровень дефектности  – математическое ожидание уровня дефектности в принятых и забракованных партиях, в которых после сплошного контроля все обнаруженные дефектные единицы заменены годными.

.

А при z/N << q

.

Так как  как при q=0, так и при q=1, то функция  имеет максимум. На рисунке видно, что . Максимальное значение среднего выходного уровня дефектности  характеризует эффективность приемочного контроля. Величина означает, что независимо от уровня дефектности в партиях до контроля с разбраковыванием выходной уровень дефектности будет в среднем не более . Если, например, предел среднего выходного уровня дефектности , то это означает, что в среднем уровень дефектности принятой продукции будет не более 2 %.

 

 

Рис. Зависимость выходного уровня дефектности от доли дефектных единиц продукции в партии для N = 10000, n = 100, c = 1

 

Значение среднего выходного уровня дефектности  на практике обычно колеблется от 1/2 до2/3 .

Величину  можно наглядно представить как площадь прямоугольника, сторонами которого являются  значения доли брака q и вероятности приемки партии Р(q), т.е. площадь ограниченная линиями, которые параллельны осям координат, проведенными через соответствующую точку оперативной характеристики.

Значение q, при котором достигается , можно определить, если продифференцировать  по q и приравнять нулю полученное выражение, получим:

.

Последнее уравнение можно переписать в виде

,

откуда следует, что для значения q, при котором достигается , касательная к оперативной характеристике параллельна диагонали указанного выше прямоугольника.

Отметим, что при отличном от нуля приемочном числе все оперативные характеристики имеют точку перегиба, абсцисса которой равна с/n – 1 при биномиальном и с/n при пуассоновском распределении числа дефектных изделий в выборке.

Каждому выборочному плану с определенными значениями n и с соответствует определенное значение . Рассмотрим простой способ вычисления этой величины для одноступенчатого плана контроля. При распределении числа дефектных изделий в выборке по закону Пуассона:

или

.

Для практических вычислений  можно использовать приближенные линейные зависимости. При этом параметры прямых: при с=1 … 7 n= 0,37 + 0,58 с; при с=7 … 20 величина n=4,47 + 0,72(с - 7).

Погрешность вычисления n по этим линейным зависимостям не превышает +0,2.

Представляет интерес контроль с разбраковыванием при приемочном числе с=0. В этом случае средний выходной уровень дефектности при биномиальном распределении числа дефектных изделий в выборке

.

Максимум функции, стоящей в правой части формулы, достигается при q'= l/(n+1). Поэтому в данном случае

.

При больших n≥20 можно применить разложение в ряд:

.

При распределении числа дефектных единиц продукции в выборке по закону Пуассона

;

.

Для контроля с разбраковыванием может вычисляться средний объем инспекции I(q) – математическое ожидание числа подвергнутых контролю единиц продукции. Поскольку объем инспекции равен объему выборки, если партия принимается [вероятность приемки Р(q)], или объему партии, если она бракуется [вероятность забракования lР(q)], то по формуле математического ожидания имеем

.