В начало

Нормальное распределение (Тема)

 

Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных, оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, например, для случайного отступления фактического размера изделия от номинального, рассеяния снарядов при артиллерийской стрельбе и во многих других ситуациях, в которых на интересующий нас результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Использованию нормального распределения для приближенного описания распределений случайных величин не препятствует то обстоятельство, что эти величины обычно могут принимать значения только из какого-то ограниченного интервала (скажем, размер изделия должен быть больше нуля и меньше километра), а нормальное распределение не сосредоточено целиком ни на каком интервале. Дело в том, что вероятность больших отклонений нормальной случайной величины от центра распределения настолько мала, что ее практически можно считать равной нулю.

Определение. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и σ2 (краткое обозначение: - ξ ~ N(а, σ2)), если ее плотность распределения задается формулой:

. 

Непрерывная случайная величина Х, принимает значения от -∞ до +∞. Смысл параметров нормального распределения наглядно показан ниже.

 

Рис. Плотность нормального распределения со средним μ и различными значениями дисперсии σ2

 

Отметим, что φ(x) стремится к нулю при х→-∞ и х→+∞. График функции φ(x) симметричен относительно точки а. При этом в точке а функция φ{x) достигает своего максимума, который равен .

Параметр а характеризует положение графика функции на числовой оси (параметр положения). Параметр σ(σ > 0) характеризует степень сжатия или растяжения графика плотности (параметр масштаба). Как видим, вся совокупность нормальных распределений представляет собой двухпараметрическое семейство.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ, распределенной как N(а, σ2), равны

, 

.

Медиана нормального распределения равна а, так как плотность распределения симметрична относительно точки х=а.

Особую роль играет нормальное распределение с параметрами а=0 и σ=1, т.е. распределение N(0,1), которое часто называют стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения есть

.

Функция распределения стандартного нормального распределения равна

.

Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа. Отметим, что

Ф(х)=1-Ф(-х),

поэтому достаточно знать значения функции Ф(х) для х≥0. Это свойство функции Ф(х) используется при составлении таблиц.

Функцию произвольного нормального распределения N(a, σ2) можно легко выразить через Ф(х). Для этого следует заметить, что если ξ распределена по закону N(a, σ2), то ее линейная функция X=(ξ-а)/σ подчиняется стандартному нормальному распределению. Поэтому

.

Эта формула позволяет вычислять вероятности событий, связанных с произвольными нормальными случайными величинами, с помощью таблиц стандартного нормального распределения.

Аналогичным образом, легко показать, что если ξ распределена по нормальному закону, скажем, N(a, σ2), то случайная величина +b (линейная функция ξ) имеет нормальное распределение N(a+b, k2σ2). Напомним, что площадь фигуры, ограниченная графиком функции плотности распределения, осью абсцисс и отрезками двух вертикальных прямых, х=b, х=с, есть вероятность попадания случайной величины в интервал (b, с). В связи с этим полезно представить, как распределяются доли площадей между кривой φ(x) и осью абсцисс (рис. 4). Более подробный анализ показывает, что случайная величина N(0, 1) с вероятностью, примерно равной 0,94 попадает в интервал (–2, 2), и с вероятностью, примерно равной 0.9973 – в интервал (-3, 3). Отсюда для произвольной нормально распределенной случайной величины можно сформулировать правило, именуемое в литературе правилом трех сигм. А именно, нормальная случайная величина N(a, σ2) с вероятностью 0.9973 попадает в интервал (а-Зσ, а+Зσ).

 

Рис. Примерное распределение площадей под кривой функции плотности стандартного нормального распределения

 

Для функции Ф(х) и ее производной, т.е. для плотности стандартного нормального распределения, существуют многочисленные таблицы разной степени подробности. Для статистических применений часто оказываются полезными таблицы, представляющие накопленную нормальную вероятность, отсчитываемую справа, т.е. таблицы, в которых в зависимости от х указаны значения Р(ξх)=1–Ф{х). Таблицы подобного вида более удобны в статистической практике, чем таблицы для Ф(х).

В большинстве сборников также приводятся таблицы квантилей стандартного нормального распределения. Они позволяют по заданному значению вероятности р, 0<р<1, находить точку х, такую, что Р(ξ<х)=р. Последнее бывает часто необходимо при проверке статистических гипотез.