В начало

Распределение хи-квадрат (Тема)

 

Определение. Пусть случайные величины ξ1, ξ2, …, ξn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Говорят, что случайная величина χ2n определенная как

,

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы.

Для обозначения этого распределения также обычно используется выражение χ2n.

Ясно, что χ2n (для любого п1) с вероятностью 1 принимает положительные значения. Функция плотности χ2n в точке х(х>0) равна

,

где Г(-) - есть гамма-функция. На практике эта плотность распределения непосредственно используется редко.

Ниже изображены функции плотности распределения хи-квадрат с различным числом степеней свободы.

Рис. Функции плотности распределения хи-квадрат с различным числом степеней свободы п

 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины χ2n равны:

,

.

Для случайной величины χ2n составлены разнообразные таблицы. Чаще всего они содержат значения р-квантилей случайных величин χ2n, n=1, 2, ..., m (если вероятность выражена в процентах, их называют процентными точками и, соответственно, говорят о таблицах процентных точек). Аргумент р, 0<р<1, при этом пробегает тот или иной набор значений.