В начало

Распределение Пуассона (Тема)

 

Распределение Пуассона играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – словом, всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий. (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события могут происходить в случайные моменты времени, а нас интересует число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т. (Например, это могут быть помехи в канале связи, появления метеоритов, дорожные происшествия и т.п.). Сделаем следующие предположения.

1.             Пусть вероятность появления события за малый интервал времени длины Δ примерно пропорциональна Δ, т.е. равна аΔ+о(Δ), здесь а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий.

2.             Если в интервале времени длины Δ уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же интервале другого события стремится к 0 при Δ→0.

3.      Количества событий, происшедших на непересекающихся интервалах времени, независимы как случайные еличиины.

В этих условиях можно показать, что случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром λ=аТ.

Определение. Случайная величина ξ, которая принимает только целые, неотрицательные значения 0, 1, 2,…, имеет закон распределения Пуассона с параметром λ>0, если

, для z=0, 1, 2, … .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ, равны:

Мξ=λ;                    

=λ.                

Эти выражения несложно получить прямыми вычислениями. Имеем:

  

Здесь была осуществлена замена n=z-1 и использован тот факт, что . Аналогично можно вычислить дисперсию случайной величины ξ.

Ниже показаны значения вероятностей Р(ξ=z|λ) для различных значений z и λ.

 

Рис. Вид распределения Пуассона для различных значений z и λ

 

Выше уже указывалась связь между распределением Пуассона и биномиальным. Остановимся на этом вопросе более подробно.

При большом п и малом р действует приближенное соотношение:

 

где λ=пр.

Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при всяком z, (z = 0,1,2,...).

, 

если существует

.

При λ>9 распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним λ и дисперсией λ.

Сумма п независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами λ1, λ2, …, λ3 соответственно, имеет также распределение Пуассона с параметром

.

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда вероятность (q≤0,1) мала, число событий велико, а математическое ожидание появления дефектных изделий является ограниченным числом.